Question

如图，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，得x²-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴，得，
∴y=x-1；

（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵点P在抛物线y=x²-1上，
∴a+1=a²-1
解得：a₁=2，a₂=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积=AB×OC+AB×PE=1+3=4；

（3）假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3，
设M点的横坐标m，则M（m，m²-1），
①点M在y轴右侧时，则m＞1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=m+1，MN=m²-1，
，即=，
解得：m=，
∴M（，）；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
，即=，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②点M在y轴左侧时，则m＜-1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m²-1，
∴=，
∴=，
解得m₁=-1（舍去），m₂=（舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m²-1，
∴=，
=，
解得：m₁=-1（舍去），m₂=-2，
∴M（-2，3），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（，），（4，15）．
分析：（1）令y=0，直接得出 A，B，C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，令OE=a，则PE=a+1，可求得PE的值，从而得出答案；
（3）首先假设存在，利用三角形相似的性质，分别分析改变对应边得出符合要求的解．
点评：此题主要考查了函数的交点、直角三角形的判定和相似三角形的判定和性质等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法，以及分类讨论思想的应用，同学们应注意不要漏解．