Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，DE=2．
（1）你认为线段BD和AD相等吗？为什么？
（2）求∠BDC的度数和CD的长．

Answer 1

分析：（1）由AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，可求得BD=AD；
（2）由AD=BD，∠A=30°，即可求得∠BDC的度数，继而可得BD是∠ABC的角平分线，然后由角平分线的性质，即可求得答案．

解答：解：（1）BD=AD．
理由：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD．

（2）∵AD=BD，∠A=30°，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠DBC=90°-∠BDC=30°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴CD=DE=3．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．