Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF

（1）如图1，求证：AE＝CF；

（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点F到直线BC的距离为．

【解析】

（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；

（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．

证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，

∴∠EDF＝90°，DE＝DF.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，DE＝DF，

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，

（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，

则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．

∵点O是BC中点，且AB＝BC＝2，

∴BO＝，

∴AO＝＝5，

∵OE＝2，

∴AE＝AO﹣OE＝3.

∵△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，

∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，

∴△ABO∽△CPF，

∴，

∴，

∴PF＝，

∴点F到直线BC的距离为.