题目内容
阅读下列材料，按要求解答问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=
b，得a2-b2=（
b）2-b2=2b2=b•c．即a2-b2=bc．于是，小明猜测：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a2-b2=bc都成立．（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确？若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
【答案】分析：等腰直角三角形中，∠A=90°，c=b，a=
b，代入a2-b2=bc可以进行验证；延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形．根据△ACD∽△CBD，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出所求证的结论．
解答：解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=
b，
∴a2-b2=（
b）2-b2=b2=bc；（3分）
（2）小明的猜想是正确的．（4分）
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，（5分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，（6分）
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，（7分）
∴
，
即
，
∴a2=b2+bc，
∴a2-b2=bc；（8分）
（3）由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2，
则（2n+2）2-（2n-2）2=2n（2n-2），
解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．（10分）
点评：解决本题的关键是正确认识等腰直角三角形的边的关系，证明△ACD∽△CBD是解题的关键．
b，代入a2-b2=bc可以进行验证；延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形．根据△ACD∽△CBD，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出所求证的结论．解答：解：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=
b，∴a2-b2=（
b）2-b2=b2=bc；（3分）（2）小明的猜想是正确的．（4分）
理由如下：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，（5分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a，（6分）
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，（7分）
∴
，即
，∴a2=b2+bc，
∴a2-b2=bc；（8分）
（3）由于三边长为三个连续整数，
设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2，
则（2n+2）2-（2n-2）2=2n（2n-2），
解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．（10分）
点评：解决本题的关键是正确认识等腰直角三角形的边的关系，证明△ACD∽△CBD是解题的关键．
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