Question

如图，CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B．直径延长AD与CB的延长线交于点E．AB、CO交于点M，连接OB．
（1）求证：∠ABO=∠ACB；
（2）若sin∠EAB=，CB=12，求⊙O 的半径及的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）4，．

试题分析：（1）证明∠ABO =∠BCO即可证得∠ABO=∠ACB.
（2）由sin∠BCO =sin∠EAB=可求得＝，从而由CB＝12求得⊙O 的半径OB为4；由△OBE∽△CAE列比例式得＝．
（1）∵CA、CB为⊙O的切线，
∴ CA=CB， ∠BCO=∠ACB，∴∠CBO=90°．∴ CO⊥AB．
∴∠ABO +∠CBM=∠BCO +∠CBM=90°．∴∠ABO =∠BCO．∴∠ABO=∠ACB．
（2） ∵ OA＝OB， ∴∠EAB=∠ABO．∴∠BCO＝∠EAB．
∵ sin∠BCO =sin∠EAB=，∴＝．
∵ CB＝12，∴ OB＝4，即⊙O 的半径为4．
∵∠OBE＝∠CAE＝90°，∠E＝∠E，∴△OBE∽△CAE．∴＝．
∵CA＝CB＝12，∴＝．