题目内容

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y= $数学公式$ （k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 $数学公式$ ．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y= $数学公式$ 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ •OB•AB= $\text{[math]}$ ×2×m= $\text{[math]}$ ，
∴m= $\text{[math]}$ ；
∴点A的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），
把A（2， $\text{[math]}$ ）代入y= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y= $\text{[math]}$ ，
又∵反比例函数y= $\text{[math]}$ ，在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 $\text{[math]}$ ≤y≤1；
（3）由图象可得：P，Q关于原点对称，
∴PQ=2OP，
反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，设P（a， $\text{[math]}$ ），
∴OP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OP最小值为 $\text{[math]}$ ，
∴线段PQ长度的最小值为2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y= $\text{[math]}$ ，可求出k的值；
（2）根据反比例函数得性质求解；
（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a， $\text{[math]}$ ），根据勾股定理得到OP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得到OP最小值为 $\text{[math]}$ ，于是可得到线段PQ长度的最小值．
点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力．