Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交⊙O于点E．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）求证：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．

【解析】

（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；

（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；

（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

（1）证明：连接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAB，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠CAB，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴OC∥AD，又AD⊥PD，

∴OC⊥PD，

∴PC与⊙O相切；

（2）证明：∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE，

∴，

∴∠ABE＝∠ECB，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°，

∵∠BCP+∠OCB＝90°，

∴∠BCP＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠BEC，

∴∠BCP＝∠BEC，

∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF；

（3）解：连接AE，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，

∴BC＝6，

由勾股定理得，AB＝，

∵，

∴AE＝BE，

则△AEB为等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝5．