题目内容
问题情境：已知，在等边△ABC中∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°请猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：如图1，先将问题特殊化，当AM=AN，点M、N分别在边上时，CM、MN、AN三者之间的数量关系？
小芳的思考过程是：在线段MC上取一点D，构建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
小丽的思考过程是：在线段AB上取一点P，构建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
问题解决：（1）如图1已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如图1，直接写出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当AM≠AN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图3中补全图形，标出相应字母，并直接写出线段CM、MN、AN三者之间的数量关系．
小芳的思考过程是：在线段MC上取一点D，构建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
小丽的思考过程是：在线段AB上取一点P，构建全等三角形，可推出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
问题解决：（1）如图1已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如图1，直接写出CM、MN、AN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当AM≠AN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图3中补全图形，标出相应字母，并直接写出线段CM、MN、AN三者之间的数量关系．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）如图1，直接写出结论CM=MN+AN，即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线；证明△MCO≌△PAO，得到OM=OP，∠COM=∠AOP；证明△MON≌△PON，得到MN=PN，即可解决问题．
（3）图形如图3所示，结论为：CM=MN-AN．
（2）如图2，作辅助线；证明△MCO≌△PAO，得到OM=OP，∠COM=∠AOP；证明△MON≌△PON，得到MN=PN，即可解决问题．
（3）图形如图3所示，结论为：CM=MN-AN．
解答：
解：（1）如图1，CM=MN+AN．
（2）如图2，在AB上截取AP=MC，连接OP；
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴∠MCO=∠PAO=30°，AO=CO；
在△MCO与△PAO中，
，
∴△MCO≌△PAO（SAS），
∴OM=OP，∠COM=∠AOP，
∴∠COM+∠MOA=∠AOP+∠MOA，
∴∠AOC=∠MOP=120°；
∵∠MON=60°，
∴∠NOP=60°，∠MON=∠NOP；
在△MON与△PON中，
，
∴△MON≌△PON（SAS），
∴MN=PN，
∴CM=AP=PN+AN=MN+AN，
即CM=MN+AN．
（3）如图3，CM=MN-AN．
解：（1）如图1，CM=MN+AN．（2）如图2，在AB上截取AP=MC，连接OP；
∵O是△ABC内角平分线的交点，
∴∠MCO=∠PAO=30°，AO=CO；
在△MCO与△PAO中，
|
∴△MCO≌△PAO（SAS），
∴OM=OP，∠COM=∠AOP，
∴∠COM+∠MOA=∠AOP+∠MOA，
∴∠AOC=∠MOP=120°；
∵∠MON=60°，
∴∠NOP=60°，∠MON=∠NOP；
在△MON与△PON中，
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∴△MON≌△PON（SAS），
∴MN=PN，
∴CM=AP=PN+AN=MN+AN，
即CM=MN+AN．
（3）如图3，CM=MN-AN．
点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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