Question

【题目】已知：如图，ABCD中，∠BAD与∠ADC的角平分线交于BC边的点F，∠ABC与∠BCD的角平分线交于AD边的点H．

（1）求证：四边形EFGH为矩形．

（2）若HF＝3，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6．

【解析】

（1）由平行四边形的性质可得∠BAD+∠ADC＝180，∠ABC+∠BAD＝180，∠DAB+∠ABC＝180，由角平分线的性质可得∠AFD＝90，∠BHC＝90，∠AEB＝∠FEH＝90，可证四边形EFGH为矩形；

（2）由矩形的性质可得EG＝HF＝3，通过证明EG是中位线，可得BC＝2EG＝6．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD+∠ADC＝180，∠ABC+∠BAD＝180，∠DAB+∠ABC＝180

∵∠BAD与∠ADC的角平分线交于BC边的点F，

∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD，∠ADF＝∠ADC，

∴∠DAF+∠ADF＝90，

∴∠AFD＝90，

同理可证∠BHC＝90，∠AEB＝∠FEH＝90，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）∵四边形EFGH为矩形．

∴EG＝HF＝3，

∵∠BAF＝∠HAF，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90，

∴△AEB≌△AEH（ASA）

∴BE＝EH，

同理，HG＝GC，

所以EG是△BHC的中位线

∴BC＝2EG＝6．