Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
解答：解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，
则AB==13．
过Q作QH⊥OA于H，
则QP=．
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，
即．
∴t=，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；
∴t=．

（2）当t=2时，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴．
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=（10+19）×12=174．

（3）①当QP=PF时，则=15+2t-2t，
∴t=或t=．
②当QP=QF时，则=，
即，
∴t=．
③当QF=PF时，则=15，
∴t=或t=-，
综上，当t=，t=，t=，t=时，△PQF是等腰三角形．
点评：①本题综合考查了勾股定理的应用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定和平行线分线段成比例等的知识点；
②由于知识点较多，有一定难度；
③要注意的是（3）中要分三种情况进行讨论，不可丢掉任何一种．