Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+1，顶点坐标为（2，1）；（2）P点的坐标为（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．

【解析】试题分析：（1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式，把解析式换成顶点式即可求得顶点坐标．

（2）本题要分两种情况进行讨论：

①PA=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；

②PB=AB，此时P与A关于y轴对称，由此可求出P点的坐标．

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A（1，0）

∴n=﹣3

∴y=﹣x2+4x﹣3；

∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，

∴顶点坐标为（2，1）；

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3，

∴令x=0，则y=﹣3，

∴B点坐标（0，﹣3），AB=，

①当PA=AB时，PA=AB=，

∴OP=PA﹣OA=﹣1或OP=+1．

∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；

②当PB=AB时，P、A关于y轴对称，

∴P（﹣1，0）

因此P点的坐标为（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．