Question

如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点.

 求抛物线的解析式（关系式）；

 过点作交轴于点，求点的坐标；

 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

    

Answer 1

  [答案] ；；

             、或、或、或

[解析] 如图，因为一次函数交轴于点，所以，，，即.

交轴于点，所以，，，即.

    由、是抛物线的图象上的点，

        

所以，抛物线的解析式是：

 如图，、

          ∴ 在中，

              ∴点的坐标：

设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形

     .在中，若，那么是以为直径的圆与坐标轴的交点，

            .若交点在上（如图），设，则有，

              

              

                                 ，此时

           .若交点在上（如图），设，此时过作垂直于点，则有，于是：

              

                        ，

          ，此时，

          或

        .在中，若，如图，设，同样过作垂直于点，则在中，有

                

                 ，此时，

        综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，满足条件的点的坐标是：、或、或、或.