Question

【题目】如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于， 两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．

（）求直线和直线的解析式．

（2）点是线段上一点，点是线段上一点， 轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点， 于点，当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值．

（）如图，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是，平移后抛物线使点，点的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）， ；

（2）点， ．

（3），t的值为， 或．

【解析】试题分析：

试题解析：（ ）代入得，

∴一次函数表达式为，

∵，

∴

∵轴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

设的坐标为，代入二次函数，

解得， ，

∵在第一象限，

∴，点，

∵是二次函数的顶点，

∴，

设直线、解析式分别为， ，

将， 代入直线解析式得解得．

将， 代入直线解析式得，解得．

∴， ．

（）如图所示， 与交点为，

过作轴的平行线，

过作的垂线，交于点，连接，

设点，则，

， ，

，

∵，

且比值为常数，

当最大时， 的值也最大，

，

当时， 取最大值，

也最大，此时点．

代入二次函数得，

得或（舍），

∴，

令，得，

，

为等腰直角三角形， ，

又∵，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形， ，

要使的值最小，即使的值最小，

当垂直时， 的值最小，

此时，代入直线解析式得，

∴点，

．

（）如图所示，直线与轴交于点，过作轴的垂线，垂足为，

令，可求得， 的坐标为．

，

，

设横坐标平移，纵坐标平移，

， ，

，

，

①当时，

．

②当时，

，解得．

．

③当时，

，解得，

，

综上所述， 的值为， 或．