题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数y=
在第一象限的图象经过点D．
（1）求D点的坐标，以及反比例函数的解析式；
（2）若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S；试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标；并直接写出S的取值范围．
（3）试探究：将正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法．
| k |
| x |
（1）求D点的坐标，以及反比例函数的解析式；
（2）若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S；试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标；并直接写出S的取值范围．
（3）试探究：将正方形ABCD沿左右（或上下）一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法．
（1）过D作DM⊥OA于M点，
由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可证得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
则：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函数解析式为：y=
（1分）
（2）过K分别作KH⊥BA于H，直线l∥AB，
∵S四边形AOBK=S△BOA+S△BKA且S△BOA=1，又S△BKA=0.5×
×KH，
设直线l为：y=-2x+b且b＞2，
∴S四边形AOBK的大小与线段HK的大小有关，（1分）
要使HK最小，则直线l与双曲线y=
在第一象限只有唯一交点K，
故：方程-2x+b=
有唯一实根，
∴2x2-bx+3=0中△=b2-24=0，
又∵b＞2，则：b=2
，
∴S△BKA最小时K的坐标为（
，
），
（横坐标计算正确即可得3分）
且直线KH为：y=
x+
，故又得：当HK最小时，H的横坐标为：
-
，
∴HK最小值为|
-（
-
）|×
=
（
-1），
即S△BKA的最小值为
-1；
而可知：HK无最大值；
∴S无最大值，且当K的横坐标为
时，S达到最小值，
所以，S的取值范围为：S≥
．（不考虑过程，S范围直接给定正确得2分）
（3）过C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3），（1分）
又∵函数y=
中，当x=2时，y=1.5；当y=3时，x=1；（1分）
∴把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位，
能使点C恰好移动到双曲线y=
上．（1分）
由题意得，AB=AD，∠AOB=∠AMD，
又∵∠DAM+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
可证得：RT△BAO≌RT△ADM，（1分）
∵A（1，0），B（0，2），
∴DM=OA=1，AM=OB=2，
则：OM=3，D（3，1），（1分）
反比例函数解析式为：y=
| 3 |
| x |
（2）过K分别作KH⊥BA于H，直线l∥AB，
∵S四边形AOBK=S△BOA+S△BKA且S△BOA=1，又S△BKA=0.5×
| 5 |
设直线l为：y=-2x+b且b＞2，
∴S四边形AOBK的大小与线段HK的大小有关，（1分）
要使HK最小，则直线l与双曲线y=
| 3 |
| x |
故：方程-2x+b=
| 3 |
| x |
∴2x2-bx+3=0中△=b2-24=0，
又∵b＞2，则：b=2
| 6 |
∴S△BKA最小时K的坐标为（
| ||
| 2 |
| 6 |
（横坐标计算正确即可得3分）
且直线KH为：y=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
| 4 |
| 5 |
3
| ||
| 10 |
∴HK最小值为|
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
3
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
2
| ||
| 5 |
| 6 |
即S△BKA的最小值为
| 6 |
而可知：HK无最大值；
∴S无最大值，且当K的横坐标为
| ||
| 2 |
所以，S的取值范围为：S≥
| 6 |
（3）过C作CN⊥BO于N，
可得：CN=BO=2，BN=OA=1，
∴C（2，3），（1分）
又∵函数y=
| 3 |
| x |
∴把正方形ABCD向左平移1个单位或向下平移1.5个单位，
能使点C恰好移动到双曲线y=
| 3 |
| x |
练习册系列答案
相关题目
轴相交于C，D两点．
