Question

已知抛物线y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），（x₁＜x₂）．
（1）求a的取值范围，并说明A、B两点都在y轴的右侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=3OC，求a的值．

Answer 1

（1）已知抛物线y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），
与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）；
∴设y=0，-x²+（1-2a）x-a²=0，
即：x²-（1-2a）x+a²=0
∴△=[-（1-2a）]²-4×a²＞0，
∴a＜

1

4

且a≠0，
∴2a＜

1

2

；
∵x₁+x₂=1-2a＞0，x₁x₂=a²＞0，
∴A、B两点都在y轴的右侧；

（2）∵A、B两点都在y轴的右侧，
∴OA=x₁，OB=x₂；
设x=0，则y=-a²，
∴C点坐标为（0，-a²），
∴OC=a²；
∵OA+OB=3OC，
∴1-2a=3a²，
∴a₁=

1

3

，a₂=-1；
∵a＜

1

4

且a≠0，
∴a=-1．