Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E是AD上一点，∠BED=135°，BE=，DC=，DE=．求：
（1）点C到直线AD的距离；
（2）线段BC的长．

Answer 1

解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F．
∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，
∴∠CDF=60°．
在Rt△CDF中，∵∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=，
∴CF=CD•sin∠CDF=3，DF=CD•cos∠CDF=．
即点C到直线AD的距离为3；

（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF于G，则四边形ABCG是平行四边形，
∴CG=AB，BC=AG．
在Rt△ABE中，∵∠BAE=90°，∠AEB=45°，BE=2，
∴AB=AE=2，
∴FG=CF-AB=3-2=1．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=90°，FG=1，AF=AE+DE+DF=2+2-+=4，
∴AG==，
∴BC=AG=．
分析：（1）过点C作CF⊥AD于F，则点C到直线AD的距离为CF的长度，解Rt△CDF，由∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=，即可求出CF=CD•sin∠CDF=3，则点C到直线AD的距离为3；
（2）过点A作AG∥BC，交CF于G，则四边形ABCG是平行四边形，CG=AB，BC=AG，再解Rt△ABE，求出AB=AE=2，那么FG=CF-AB=1，然后在Rt△AFG，运用勾股定理求出AG的长度，则BC=AG．
点评：本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．