题目内容
如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．（1）求此二次函数的解析式．
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长．
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）先令x=0求出OC的长度，再利用∠CBO正切值求出OB的长度，从而得到点B的坐标，然后代入二次函数解析式求出a的值，即可得解；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再判断出点P经过的路线为△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EP=AP=
AD，FP=AP=
AD，再根据等边对等角可得∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EPF=2∠BAC，令y=0，解关于x的一元二次方程求出点A的坐标，从而得到OA=OC，求出∠BAC=45°，即可得解；
③判断出△EFP是等腰直角三角形，从而确定AD⊥BC时，EF最短，利用△ABC的面积列式求出AD⊥BC时的值，再求出EP，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
解答．
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再判断出点P经过的路线为△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EP=AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③判断出△EFP是等腰直角三角形，从而确定AD⊥BC时，EF最短，利用△ABC的面积列式求出AD⊥BC时的值，再求出EP，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
| 2 |
解答：解：（1）令x=0，则y=4，
∴OC=4，
∵∠CBO的正切值是2，
∴
=
=2，
解得OB=2，
∴点B的坐标为（2，0），
代入二次函数y=ax2+2ax+4得，4a+2a•2+4=0，
解得a=-
，
∴二次函数解析式为y=-
x2-x+4；
（2）①在Rt△OBC中，BC=
=
=2
，
∵P是线段AD的中点，
∴点P经过的路线为△ABC的中位线，
长度为：
BC=
×2
=
；
②∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴EP=AP=
AD，FP=AP=
AD，
∴∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=∠CAD+∠AEP+∠BAD+∠AFP=2∠CAD+2∠BAD=2∠BAC，
令y=0，则-
x2-x+4=0，
整理得，x2+2x-8=0，
解得x1=2，x2=-4，
∴点A坐标为（-4，0），
∴OA=OC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠EPF=2×45°=90°；
③∵EP=AP=
AD，FP=AP=
AD，
∴EP=FP，
∵∠EPF=90°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC时，EF最短，
此时，S△ABC=
AB•OC=
BC•AD，
即
×|-4-2|×4=
×2
AD，
解得AD=
，
∴EP=
AD=
，
∴EF最小=
EP=
×
=
．
∴OC=4，
∵∠CBO的正切值是2，
∴
| OC |
| OB |
| 4 |
| OB |
解得OB=2，
∴点B的坐标为（2，0），
代入二次函数y=ax2+2ax+4得，4a+2a•2+4=0，
解得a=-
| 1 |
| 2 |
∴二次函数解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
（2）①在Rt△OBC中，BC=
| OC2+OB2 |
| 42+22 |
| 5 |
∵P是线段AD的中点，
∴点P经过的路线为△ABC的中位线，
长度为：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
②∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴EP=AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠CAD=∠AEP，∠BAD=∠AFP，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=∠CAD+∠AEP+∠BAD+∠AFP=2∠CAD+2∠BAD=2∠BAC，
令y=0，则-
| 1 |
| 2 |
整理得，x2+2x-8=0，
解得x1=2，x2=-4，
∴点A坐标为（-4，0），
∴OA=OC=4，
∴∠BAC=45°，
∴∠EPF=2×45°=90°；
③∵EP=AP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴EP=FP，
∵∠EPF=90°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC时，EF最短，
此时，S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
解得AD=
12
| ||
| 5 |
∴EP=
| 1 |
| 2 |
6
| ||
| 5 |
∴EF最小=
| 2 |
| 2 |
6
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积的应用，综合性较强，难度较大，熟记各性质是解题的关键．
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| B、（-1，-2） |
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