Question

如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接BC，AD．
（1）在图中找出与∠BAC相等的角，并说明理由；
（2）在图中找出所有与△BCE相似的三角形：

△BCE∽△BDC∽△ADE

；（不必证明）
（3）若BE=4，ED=5，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理，可找出与∠BAC相等的角；
（2）由圆周角定理及（1）中相等的角，利用“AA”确定相似三角形；
（3）由（2）可知△BCE∽△BDC，结合已知条件，确定相似比为

BC

BD

=

BE

BC

，利用这个等式求BC．

解答：解：（1）∵AB=BC，
∴

AB

=

BC

，
∴∠BAC=∠BCA=∠BDC=∠BDA；

（2）由圆周角定理可知∠CBD=∠CAD，
又∵∠BCA=∠BDC=∠BDA，
∴△BCE∽△BDC∽△ADE；
故答案为：△BCE∽△BDC∽△ADE；

（3）由已知得BD=BE+ED=9，
∵△BCE∽△BDC，
∴

BC

BD

=

BE

BC

，即

BC

9

=

4

BC

，
解得BC=6．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质．关键是由已知条件得出弧相等，由圆周角定理得出圆周角相等．