Question

6．如图1，B，C，E三点在一条直线上，△CAB和△CDE均为等边三角形，连接AE，BD，则有结论：AE=BD．
请你完成下面的探究：如果把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示，结论AE=BD还成立吗？请证明你的猜想，并求出AE与BD所夹锐角的度数．

Answer 1

分析 结论还成立．根据等边三角形的各边都相等得：CB=CA，CD=CE，由各角为60°得：∠BCA=∠DCE=60°，由等式的性质得：∠BCD=∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE；
在△DFG和△EGC中，根据两个角对应相等，则第三个角相等得：∠DFE=∠DCE=60°，所以，AE与BD所夹锐角的度数为60°．

解答 证明：如图2，结论还成立．            
∵△CAB和△CDE均为等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}CB=CA\\∠BCD=∠ACE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠DGF=∠EGC，
∴∠DFE=∠DCE=60°，
所以，AE与BD所夹锐角的度数为60°．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，属于常考题型，解题的关键是能利用等边三角形的性质得到相等的线段和相等的角，从而证得三角形全等，进一步证得结论．