Question

△ABC中，如果A₁，A₂，A₃…A_n-1是边AB的n等分点，分别过点A₁，A₂，A₃…A_n作BC的平行线，则截得的一个三角形与（n-1）个梯形的面积和比为________；如果所截得的部分面积相等，则AA₁：AA₂：AA₃…：AA_n=________．

Answer 1

1：（n²-1）    1：：…：
分析：利用平行线可判定截得的三角形和原三角形相似，由相似三角形的性质：面积比是相似比的平方，找到规律由规律填空即可．
解答：①当n是AB的2等分点时，
∵A₁B₁∥BC，
∴△AA₁B₁∽△ABC，
∴AA₁：AB=1：2，
∴S_△AA1B1：S_△ABC=1：4，
∴S_△AA1B1：S_梯形A1B1CB=1：3；
②当n是AB的3等分点时，
S_△AA2B2：S_梯形A2B2CB=1：8；
③当n是AB的4等分点时，
S_△AA3B3：S_梯形A3B3CB=1：15，
…依此类推，
则截得的一个三角形，（n-1）个梯形的面积比为1：（n²-1），
故答案为：1：（n²-1）；
如果所截得的部分面积相等则则AA₁：AA₂：AA₃…：AA_n=1：：…：，
故答案为：=1：：…：．
点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方，由此找到问题的规律，运用规律解题是关键和突破口．