Question

（2012•通州区一模）已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，连接DP，PE．
（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？

不成立

（填：成立或不成立）．
（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=

3

5

，设AP=x，△PCE的面积为y，当AP＞

1

2

AC时，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据①当点E在射线BC边上，且交点P在对角线AC上时，②P、C两点重合时，③当点E在BC边的延长线上且点P在对角线AC的延长线上时，利用三角形的全等判定以及正方形性质，可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）当四边形ABCD是矩形，无法证明△BAP≌△DAP，故（1）中的猜想不成立．
（3）根据①当点P在线段AC上时，②当点P在线段AC的延长线上时，利用三角形相似得出，分别分析即可得出y与x之间的函数关系式．

解答：解：（1）PE=PD，PE⊥PD  
①如图1，2，当点E在射线BC边上，且交点P在对角线AC上时，连接PB
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP与△DAP中，
∵

AD=AB ∠DAP=∠BAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．
∴PB=PD，
∵点P在BE的垂直平分线上，
∴PB=PE，
∴PE=PD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠DPA=∠APB．
又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP，
∴∠DPA=135°-∠ABP．
又∵PE=PB，
∴∠BPE=180°-2∠PBE，
∴∠DPE=360°-∠DPA-∠APB-∠BPE，
=360°-2（135°-∠ABP）-180°+2∠PBE，
=360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE，
=90°，
∴PE⊥PD；                          
②如图3，P、C两点重合，DC=CE，∠DCE=90°，
则PE=PD，PE⊥PD．
③如图4，当点E在BC边的延长线上且点P在对角线AC的延长线上时，
连接PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
在△BAP与△DAP中
∵

AD=AB ∠DAP=∠BAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS）．
∴PB=PD，
∴∠PBA=∠PDA，
∴∠PBE=∠PDC，
∵点P在BE的垂直平分线上，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∴∠DFC=∠EFP，
∴∠EPF=∠DCF=90°，
∴PE⊥PD，
故结论PE=PD，PE⊥PD 成立；

（2）当四边形ABCD是矩形，无法证明△BAP≌△DAP，
故（1）中的猜想不成立．
故答案为：不成立；

（3）①如图5，当点P在线段AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，
∴DC=AB=6，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵cos∠ACD=

CD

AC

=

3

5

，
∴AD=8，AC=10，
作PQ⊥BC于点Q，
∴PQ∥AB，
∴

PC

PA

=

CQ

BQ

，
∴

10-x

x

=

8-BQ

BQ

，
∴BQ=

4

5

x，
∴BE=

8

5

x，
∴CE=

8

5

x-8，
∴△CPQ∽△CAB，
∴

PQ

AB

=

CP

CA

，
∴

PQ

6

=

10-x

10

，
∴PQ=6-

3

5

x，
∴y=

1

2

EC×PQ，
=

1

2

（

8

5

x-8）（ 6-

3

5

x），
=-

12

25

x²+

36

5

x-24（5＜x＜10）；
②如图6，当点P在线段AC的延长线上时，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴

PQ

AB

=

PC

AC

，
∴

PQ

6

=

x-10

10

，
∴PQ=

3

5

x-6，
∴

PC

AC

=

CQ

BC

，
∴

x-10

10

=

CQ

8

，
∴CQ=

4

5

x-8，
∴BQ=

4

5

x，
∴BE=

8

5

x，
∴EC=

8

5

x-8，
∴y=

1

2

EC×PQ，
=

1

2

（

8

5

x-8）（

3

5

x-6），
=

12

25

x²-

36

5

x+24（x＞10）．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质的判定与性质等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．