Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为（ ）

A.48B.42C.36D.32

Answer 1

【答案】B

【解析】

如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．由△POD∽△BOC，得，设OP=x，推出OD=2x，由PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，推出PE=OP，由 ，推出，推出AD=2（4-x），在Rt△ADO中，根据AD2=AO2+DO2，可得4（4-x）2=4x2+42，求出x的值，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BDAO+BDOC=BD（OA+OC）计算即可．

如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．

∵∠ADO=2∠BCO，
∴∠PDO=∠BCO，
∵∠POD=∠BOC，
∴△POD∽△BOC，
∴，设OP=x，
∴，
∴OD=2x，
∵PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，
∴PE=OP，
∴，
∴，
∴AD=2（4-x），
在Rt△ADO中，∵AD2=AO2+DO2，
∴4（4-x）2=4x2+42，
∴x=，
∴OD=3，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BDAO+BDOC=BD（OA+OC）=×7×12=42．
故选B．