Question

如图，在△ABC中，AB=AC，cosB=，BC=2，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，△BEF沿直线EF翻折后与△DEF重合．
（1）试问△DFC是否有可能与△ABC相似，如有可能，请求出CD的长；如不可能，请说明理由；
（2）当点D为AC的中点时，求BF的长；
（3）设CD=x，BF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，∴BH=，
∴AC=AB=，

（1）△DFC有可能与△ABC相似．
设CD=x，
①当△DFC∽△ABC时，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=2-x，
，
②当△DFC∽△BAC时，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=1，
，
∴CD的长为或；

（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∴CD=，
∴CG=，
DG===，
设BF=y，则DF=y，FG==，
∵DG²+FG²=DF²，
∴，
∴；

（3）与（2）同理可得：，
FG=，
，
∴函数解析式为：（0＜x＜2）．
分析：（1）分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论求出CD的长；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，根据翻折变换的性质、三角函数和勾股定理即可求出BF的长；
（3）与（2）同理可得y与x的函数解析式．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换（折叠问题）和解直角三角形，