Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点.点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点.

(1)求的值;

(2)如图①，连接， 线段上的点关于直线的对称点F'恰好在线段BE上，求点的坐标;

(3)如图②,动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点.试问:直线右侧的抛物线上是否存在点,使得与的面积相等，且线段的长度最小?如果存在，求出点的坐标;如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得的值；由，可用表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值；

（2）可设，则可表示出的坐标，由、的坐标可求得直线的解析式，把坐标代入直线解析式可得到关于t的方程，可求得点的坐标；

（3）设点坐标为，可表示出、、的长，作，垂足为，则可求得的长，用可表示出、、的坐标，在中，由勾股定理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时的值，则可求得点的坐标，

解：（1）且轴，

抛物线的对称轴为直线

即，

，

，

代入：，

解得 (舍去），

.

（2）由（1）可知

则

由待定系数法可得直线BE的解析式为：

设由，点关于直线的对称点的坐标为

则有：

（3）存在点满足题意．

设点坐标为，则，，．

作，垂足为，

△，

，

．

点在直线的右侧时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

在中， ，

时，取最小值1．此时点的坐标为．

综上可知存在满足题意的点，其坐标为．