题目内容
9、三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？
分析：不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
解答：解：
设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：
（1）若点Pn在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
an=an-1+2．
易知a0=1，于是
a1=a0+2，a2=a1+2，，an=an-1+2．
将上面这些式子相加，得
an=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．
设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：
（1）若点Pn在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
an=an-1+2．
易知a0=1，于是
a1=a0+2，a2=a1+2，，an=an-1+2．
将上面这些式子相加，得
an=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．
点评：本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知，如图，直角三角形ABC内部有个正方形DEFG，其中G、D分别为AC、AB上，EF在斜边BC上．
