Question

如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．


求证：（1）四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=

1

2

×180°=90°，


∴三个角为直角的四边形AECF为矩形；

（2）MN∥BC且MN=

1

2

BC；
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=

1

2

BC．