Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P从B点沿B→A方向向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从B点沿B→C方向向终点C以每秒2个单位的速度运动；以线段PQ为折痕将△BPQ对折，设对折后点B与点R重合，运动时间为t秒．
（1）当t=

2.5

秒时，点R在AD边上（如图甲）；
（2）当t=

15

8

秒时，点R在矩形ABCD的对角线AC上（如图乙）．

Answer 1

分析：（1）作GQ⊥BC交AD于G，根据轴对称的性质可以得出△PBQ≌△PRQ，就可以得出PB=PR，BQ=RQ，就有ABQG是矩形，先表示出RG，在△PAQ中由勾股定理就可以求出结论；
（2）作QG⊥AC于G，根据轴对称的性质可以得出△PBQ≌△PRQ，就可以得出PB=PR，BQ=RQ，再根据条件由△APR∽△GRQ就可以求出结论．

解答：解：（1）作GQ⊥BC交AD于G，
∴∠BQG=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6．∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴∠BQG=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABQG是矩形，
∴AB=GQ=4，AG=BQ．∠AGQ=90°
∵△PBQ与△PRQ关于PQ对称，
∴△PBQ≌△PRQ，
∴∠PBQ=∠PRQ=90°，PB=PR，BQ=RQ．
∴∠ARP+∠QRG=90°．
∵∠ARP+∠APR=90°，
∴∠APR=∠GRQ，∠BPQ=∠RPQ，∠PQR=∠PQB．
∵∠A=∠AGQ=90°，
∴△APR∽△GRQ，
∴

PR

RQ

=

AP

GR

∵BP=t，BQ=2t，
∴AP=4-t，AG=2t，PR=t，RQ=2t．
在Rt△RGQ中，由勾股定理，得
RG=

4t2-16

．
∴

t

2t

=

4-t

4t2-16

，
∴t=2.5．
故答案为：2.5

（2）作RG⊥BC于G，连接RB交PQ于E，
∴∠RGB=∠RGC=90°．
∵PR=PB，∠BPQ=∠RPQ，
∴∠PER=∠PEB=90°，RE=BE．
∵∠PEB+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BQE=90°，
∴∠PBE=∠BPQ．
∵∠RBG+∠BRG=90°，
∴∠BRG=∠BQP．
∵PB=t，BQ=2t，
∴tan∠BQP=tan∠BRG=tan∠PBE=

1

2

．
设PE=x，则BE=2x，由勾股定理，得
x=

5

5

t，
∴BE=

2 5

5

t，
∴BR=

4 5

5

t．
设BG=a，则GR=2a，由勾股定理，得
a=

4

5

t，
∴GR=

8

5

t．
∴CG=6-

4

5

t．
∵∠ABC=∠RGC=90°，
∴RG∥AB，
∴△CGR∽△CBA，
∴

RG

AB

=

CG

BC

，
∴

8 5 t

4

=

6- 4 5 t

6

，
∴t=

15

8

．
故答案为：2.5，

15

8

．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角函数值的运用，矩形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时求出运用相似三角形的性质求解是关键．