Question

如图，等腰△ABC内接于⊙O，BA=CA，弦CD平分∠ACB，交AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若BH=DH=1，求FH的值．

Answer 1

分析：（1）根据CD平分∠ACB，利用圆周角定理，求证BE∥AD，再根据等腰三角形的性质和等量代换即可求证CF=BF．
（2）连接DB，根据BH=DH，求证∠FHB=2∠HBD，同理，∠HFB=2∠FCB，再求证△FBH∽△FDB，然后利用相似三角形对应边成比例即可求得FH的值．

解答：证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BCD=∠DAB，
∴∠ACD=∠DAB，
∴BE∥AD，
∴∠EBA=∠DAB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FCB=∠FBC，
∴CF=BF；

（2）连接DB，∵BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD，
∴∠FHB=2∠HBD，
同理，∠HFB=2∠FCB，
∵∠ABD=∠ACD=∠DCB，
∴∠FHB=∠HFB，
∴FB=HB=1，
∵FB∥AD，
∴∠1=∠2，
∵DC平分∠ACB，
∴

AD

=

DB

，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△FBH∽△FDB，
∴

FH

FB

=

FB

FD

，
设FH=x，则FD=x+1，
∴

x

1

=

1

x+1

，
解之得，x=

5 -1

2

，
即FH=

5 -1

2

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理的理解和掌握，涉及到知识点较多，综合性较强，有一定的难度．