Question

某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n²+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．

Answer 1

分析：首先表示出二次函数的对称轴，再利用对称轴的取值范围当-

k

2

≤1，当-

k

2

≥10，以及当1＜-

k

2

＜10，分别得出k的取值范围进而得出答案．

解答：解：抛物线D=n²+kn+90的对称轴为n=-

k

2

（1）当-

k

2

≤1即k≥-2时，有n=1，D=4k+106，
故1²+k+90=4k+106，
解得：k=-5（不合题意），
（2）当-

k

2

≥10，即k≤-20时，有n=10，D=4k+106，
故10²+10k+90=4k+106，
解得：k=-14（不合题意），
（3）当1＜-

k

2

＜10，即-20＜k＜-2时，n在取值范围-

k

2

-

1

2

≤n≤-

k

2

+

1

2

内，
D有最低动听指数，且为4k+106，
故[-

k

2

+

1

2

]2+k[-

k

2

+

1

2

]+90≥4k+106
化简得（k+7）（k+9）≤0，
解得-9≤k≤-7．
综上所述，k的取值范围是-9≤k≤-7．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及不等式的解法等知识，利用分类讨论得出k的取值范围是解题关键．