Question

如图，AB是半圆O上的直径，E是

BC

的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F．已知BC=8，DE=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求CF的长；
（3）求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可得△BOD为直角三角形，根据勾股定理求出半径；
（2）由1得OD=3，证明△COF∽△DOC，利用线段比求出CF；
（3）过点D作DM⊥AB于M，则可求DM、OM、AM的长，则tan∠BAD的值可求．

解答：解：（1）∵E是

BC

的中点，
∴OE垂直平分BC，
∴△BOD为直角三角形．
设半径为x，则BO=x，OD=x-2，BD=4，
在直角△BOD中，根据勾股定理得（x-2）²+4²=x²，
解得x=5．
即⊙O的半径为5；

（2）∵∠FCO=∠CDO=90°，∠COF=∠DOC，
∴△COF∽△DOC，
∴

CF

CD

=

OC

OD

，
∴CF=

20

3

；

（3）过点D作DM⊥AB于M，
∴DM=

3•4

5

=

12

5

．
又∵△ODM∽△OBD，
∴OM=

9

5

．
∴tan∠BAD=

DM

AM

=

12 5

9 5 +5

=

6

17

．

点评：本题综合考查了相似三角形，勾股定理，垂径定理等相关知识，本题难度偏难．