Question

如图，AB是半圆O上的直径，E是

BC

的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2．
（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．

Answer 1

分析：（1）设⊙O的半径为x，由E点是

BC

的中点，O点是圆心，根据垂径定理的推论得到OD⊥BC，DC=

1

2

BC=4，然后在Rt△ODC中，根据勾股定理可计算出x．
（2）根据切线的性质得到OD⊥BC，再根据射影定理得到OC²=OD•OF，计算出OF，然后根据勾股定理可计算出CF的长．

解答：解：（1）设⊙O的半径为x，
∵E点是

BC

的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC=

1

2

BC=4，
在Rt△ODC中，OD=x-2，
∴OD²+DC²=OC²
∴（x-2）²+4²=x²
∴x=5，即⊙O的半径为5；

（2）∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF
又∵E是

BC

的中点．
∴OD⊥BC，
∴OC²=OD•OF，即5²=3•OF
∴OF=

25

3

在Rt△OCF中，OC²+CF²=OF²
∴CF=

20

3

点评：本题考查了垂径定理的推论：过圆心平分弧的直径垂直平分弦．也考查了切线的性质、勾股定理以及射影定理．