题目内容
如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于点R，且RP=RQ
（1）求证：直线QR是⊙O的切线；
（2）若OP=PA=1，试求RQ的长．
（1）求证：直线QR是⊙O的切线；
（2）若OP=PA=1，试求RQ的长．
解答：证明：（1）连接OQ；
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
即OQ⊥QR，
∴直线QR是⊙O的切线．
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
即OQ⊥QR，
∴直线QR是⊙O的切线．
（2）设AR的长为x，则PR=RQ=x+1；
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
则（x+2）2=（x+1）2+22，
解之得，x=
，
∴QR=x+1=
．
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
则（x+2）2=（x+1）2+22，
解之得，x=
， ∴QR=x+1=
．
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