题目内容

求方程7x+19y=213的所有正整数解．

解：用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x= $\text{[math]}$ =30-2y+ $\text{[math]}$ ②
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y= $\text{[math]}$ ③，
令 $\text{[math]}$ =v，则2u+5v=3．④
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x₀=25，y₀=2，
所以它的一切解为 $\text{[math]}$ ，
由于要求方程的正整数解，所以 $\text{[math]}$ ，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
分析：首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值．
点评：本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．