题目内容

菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=5，cosB= $数学公式$ ，直线AC交y轴于点D，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向终点C匀速运动，同时，动点Q从D点出发，以每秒 $数学公式$ 个单位的速度沿DA向终点A匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（点P在BC上）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t= $数学公式$ 时，直线PQ交y轴于F点，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）作CE⊥OA交OA于点E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，∠1=∠B，
∵cosB= $\text{[math]}$ ，
∴cos∠1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OE=3，∴AE=2，
在Rt△OEC和Rt△AEC中，由勾股定理，得
EC=4，CA=2 $\text{[math]}$ ，
∴C（3，4）；

（2）∵OA=5，
∴A（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，由题意，得
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AC的解析式为：y=-2x+10，
当x=0时，y=10，
∴OD=10，在Rt△AOD中由勾股定理，得
AD=5 $\text{[math]}$ ，
∴CD=3 $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ ≤t＜3时，
DQ= $\text{[math]}$ t，QA=5 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴QG=10-2t，
∴S= $\text{[math]}$ ，
S=2t²-16t+30，
当3＜t＜5时，
S= $\text{[math]}$ ，
S=-2t²+16t-30；

（3）当t= $\text{[math]}$ 时，P（8，4），QG=5，
∴5=-2x+10，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴Q（ $\text{[math]}$ ，5），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，由题意，得

$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线PQ的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
当x=0时，y= $\text{[math]}$ ，
∴OF= $\text{[math]}$ ，
∴FD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由四边形ABCO是菱形我们可以得出角相等和边相等，作CE⊥OA交OA于点E，由cosB= $\text{[math]}$ 求出OE的长度，再根据勾股定理就可以求出CE的长度，从而求出C点的坐标．
（2）根据A、C的坐标求出直线AC的解析式，求出AD的长，利用勾股定理求出AC的长，从而求出CD的长度，分为点Q在CD之间和在AC之间时两个不同的解析式．
（3）当t= $\text{[math]}$ 时，利用相似可以求出Q、B的坐标，从而可以求出直线PQ的解析式，求出OF的值，从求出其结论．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了三角形的面积公式的运用菱形的性质，勾股定理的运用，待定系数法求函数的解析式及解直角三角形的相关知识．