题目内容

如图，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连接DQ．设P、Q的运动时间为t．
（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
（2）若a=15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；
（3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据PD∥BC，AB=AC，即可求出BD；
（2）根据平行线得出比例式，求出PD，根据△ADP和△BDQ，得出比例式，代入即可求出答案；
（3）假设存在，根据设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，推出△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，根据△BDQ和△ABC的面积之间的关系，求出t的值，根据PD∥BC，得出比例式，代入求出a即可．
解答：解：（1）BD=t．

（2）∵PD∥BC，
∴
AP
AC
=
PD
BC
，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10-
2
3
t，
∵△ADP和△BDQ相似，
∴
QB
AP
=
BD
PD
或
QB
PD
=
BD
AP

∴
10-t
15-t
=
t
10-
2
3
t
或
10-t
10-
2
3
t
=
t
15-t

解得：t1=4，t2=15（舍去），t3=15＞10（舍去），t4=6
答：t=4或6时，△ADP与△BDQ相似．

（3）存在，
理由是：假设存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4，
即
S△APD
S△ABC
=
4
1+4+4
=
4
9
，
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，相似比是
2
3
，
∴
AP
AC
=
2
3
，
设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，
则△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，
∴
1
2
BQ×h=
1
9
×
1
2
BC×3h，
（10-t）=
1
9
×3×10，
∴t=
20
3
，
∵AP=a-t=a-
20
3
，AC=a，
∴
a-
20
3
a
=
2
3
，
代入解得：a=20，
答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4的时刻，a的值是20．
点评：本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，关键是根据题意得出等式或方程，此题题型不错，但有一定的难度．
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12
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