Question

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点，
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²．

Answer 1

解：（1）∵P、O₁、O₂分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
∴四边形PO₁CO₂是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO₁=PO₂，
∴四边形PO₁CO₂是菱形；

（2）∵P为AB中点，∴AP=BP，
又O₁为AC中点，∴O₁P为△ABC的中位线，
∴O₁P=O₂B=BC，同理可得O₂P=AO₁=AC，
∴△AO₁P≌△BO₂P（SSS），
∴∠AO₁P=∠BO₂P，又∠AO₁E=∠BO₂F，
∴∠AO₁P+∠AO₁E=∠BO₂P+∠BO₂F，即∠PO₁E=∠FO₂P，
又∵O₁A=O₁E=O₂P，且PO₁=BO₂=FO₂，
∴△PO₁E≌△FO₂P；
但四边形PO₁CO₂不是菱形；

（3）Rt△APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c²=a²+b²；AB²=4c²=4（a²+b²），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD=a，BD=2b，BC²=a²+4b²，
∴BC²+3AC²=a²+4b²+3a²=4（a²+b²），
∴AB²=BC²+3AC²．
分析：（1）可证明△APO₁与△BPO₂全等，则∠AO₁P=∠BO₂P，再根据已知可得出EO₁=FO₂，PO₁=PO₂，则△PO₁E≌△FO₂P，可先证明四边形PO₁CO₂是平行四边形，再证明CO₁=CO₂，即可得出四边形PO₁CO₂是菱形；
（2）由已知得出①成立，而②只是平行四边形；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，则c²=a²+b2；AB²=4c²=4（a²+b²），过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．则CD=a，BD=2b．BC²=a²+4b²，由此得证．
点评：本题综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．