如图.在Rt△ABO 中.AO=4.BO=3.动点P从A点出发.以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动.同时动点Q从B点出发.以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动.当一个点停止运动.另一个点也随之停止运动.连接PQ.设运动时间为t(s)．(1)设△AQP的面积为S.试求出S与t之间的函数关系式,并求出当t为何值时.△AQP的面积最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在Rt△ABO 中，AO=4，BO=3，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）．
（1）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大；
（2）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似．
（3）探索以OP为直径的圆与AB有怎样的位置关系，并求出相应的t的取值范围．

分析（1）作QH⊥OA于H．易知S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t²+3t，根据二次函数的性质即可解决问题；
（2）因为∠PAQ=∠OAB，所以当$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△PAQ∽△BAO，分别列出方程即可解决问题；
（3）如图2中，设OP为直径的⊙K与AB相切于点M．求出此时的t的值即可解决问题；

解答解：（1）作QH⊥OA于H．

在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵QH∥OB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴QH=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t²+3t，
∵S=-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，0＜t≤2，
∴t=2时，S有最大值．

（2）因为∠PAQ=∠OAB，
所以当$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{2t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=$\frac{10}{7}$s，
或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△PAQ∽△BAO，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
解得t=$\frac{25}{13}$s
综上所述，t=$\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s时满足条件．

（2）如图2中，设OP为直径的⊙K与AB相切于点M．

由sinA=$\frac{KM}{AK}$=$\frac{OB}{AB}$，可得$\frac{\frac{4-2t}{2}}{\frac{4-2t}{2}+2t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{1}{2}$s，
∴当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，⊙K与AB相交，当t=$\frac{1}{2}$时，⊙K与AB相切，当$\frac{1}{2}$＜t＜2时，⊙K与AB相离．