Question

5．已知半圆O的直径AB=4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB=3：1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设折叠后的圆弧所在的圆心为O₁，连接O₁O，O₁D，OE，设O₁O交EF于点H，由折叠的轴对称性可知：EF垂直平分O₁O，再证明OA=OB=OE=2，根据AD：DB=3：1，可知BD=1，OD=1，由勾股定理可知：O₁O=$\sqrt{5}$，从而可知OH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，EH=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，根据EF=2EH即可求得问题的答案；
（2）先根据题意画出图形，再求得最大值和最小值即可．

解答 解：（1）如图1-1，设折叠后的圆弧所在的圆心为O₁，连接O₁O，O₁D，OE，设O₁O交EF于点H．

由折叠的轴对称性可知：EF是对称轴，
∴EF垂直平分O₁O．
又∵EF是⊙O的弦，
∴0₁0与EF相互垂直平分．
∵AB=4，
∴OA=OB=OE=2．
∵AD：DB=3：1，
∴BD=1，OD=1．
∴O₁O═$\sqrt{O{D}^{2}+{O}_{1}{D}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴OH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
∴EF=2EH=$\sqrt{11}$．
（2）如图1-2，折痕EF的有最小值，最小值=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

如图1-3，折痕EF的有最大值，最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、折叠的性质、勾股定理的应用，利用切线的性质画出EF存在最大值和最小值时的图形时解题的关键．