Question

【题目】若是关于的函数，是常数（），若对于此函数图象上的任意两点，，都有，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数的最小值，称为该函数的界高.

例如：下图所表示的函数的界高为4.

（1）求函数的界高；

（2）已知，若函数的界高为4，求实数的取值范围；

（3）已知，函数的界高为，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 界高为9;(2) ;(3)

【解析】

（1）根据函数（）的性质，在取最小值0，在取最大值9，由此可求函数的界高；

（2）把代入抛物线的解析式得：，解得，从而，进一步即得m的取值范围是；

（3）因为抛物线的对称轴是直线x=a，而，函数中的x的取值范围是，所以要对a分情况求解；

当时，由二次函数的性质可知，函数在x=－2时，取得最大值，在x=1时取得最小值，将代入函数解析式求得，然后根据，可求a的值；

当时，同样的思路将代入函数解析式得，再根据，亦可求得a的值；最后综合得出结果.

解（1）函数（）在取最小值，在取最大值

∵

∴界高为9.

（2）将代入抛物线的解析式得：，解得：

∴

∴的取值范围是

（3）当时，由二次函数的性质可知，函数在x=－2时，取得最大值，在x=1时取得最小值，于是将代入函数解析式求得，

∵

∴

解得：

又∵

故此种情况不成立；

当时，同理将代入函数解析式得：，

∵

∴

解得：（舍去）

故