Question

如图所示，已知△ABC的重心G与内心I的连线GI∥BC．求证：AB、BC、CA成等差数列．

Answer 1

证明：
方法一：连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线．
∵GI∥BC，
∴．
在△CAE中，有，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．

方法二：（利用面积公式），连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径，
设IE=r．
∵IG∥BC，
∴，即AH=3r．
∵，
即2BC=AB+CA．
分析：方法一：首先连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线．根据三角形重心的性质及GI∥BC可得到．在△CAE中，利用相似三角形的性质定理易得到，即AC=2CE．同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．至此，问题得证．
分析二：（利用面积公式），首先连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径．根据三角形重心的性质及相似三角形的性质易得到，即AH=3r．再利用三角形的面积计算公式，即2BC=AB+CA．问题得证．
点评：本题考查三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．