Question

如图，已知点A，B分别在x轴和y轴上，且，点C的坐标是，AB与OC相交于点G．点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C，过P作直线EF∥AB分别交OA，OB于E，F．解答下列问题：
（1）直接写出点G的坐标和直线AB的解析式．
（2）若点P运动的时间为t，直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s，请求出s与t的函数关系式；并求出当t为何值时，直线EF平分四边形OACB的面积．
（3）设线段OC的中点为Q，P运动的时间为t，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AB与OC相交于点G，以及C点横纵坐标相等得出G点坐标为AB中点，即可得出答案，再利用A，B两点坐标得出解析式即可；
（2）分别根据当0＜t≤3时，当3＜t＜7时，利用相似三角形的性质得出s与t的关系时即可．
（3）利用①当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，以及②当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，利用相似三角形的性质得出即可．
解答：解：（1）G点的坐标是，
∵，得出A，B两点坐标，
分别为：（3，0），（0，3），
代入y=kx+b，
，
解得：，
即可得出直线AB的解析式为：y=-x+3…（2分）；

（2）∵C的坐标是，
∴OC是∠AOB的角平分线.，
又∵，
∴AB==6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3，
①当0＜t≤3时，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=•EF•OP=•2t•t=t²…（5分），
②当3＜t＜7时，OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
即，
∴，
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CEF=•AB•CO-EF•CP，
=×6×7-×（7-t）（7-t），
=，
∴s与t的函数关系式是：
…（7分）
当直线EF平分四边形OABC的面积时有：，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：（不符合题意舍去）； 
∴当时，直线EF平分四边形OABC的面积．…（8分）

（3）①如图1，当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四边形OEQF是正方形，
∴，
即t=时，△EFQ为直角三角形，
②如图2，当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，
同理可证：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
即，
解得：t=5，
∴当或t=5时，△EFQ为直角三角形．…（12分）
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质得出对应边之间关系得出t的值是解题关键．