Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．

(1)AE是⊙O的切线吗？请说明理由；

(2)若AE＝4，求BC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：AE是⊙O的切线　　1分 　　理由如下：(1)连接AO　　2分 　　∵AO＝DO，∴∠OAD＝∠ODA． 　　∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ODA． 　　∴∠ADE＝∠OAD　　3分 　　∵AE⊥CD，∴∠ADE＋∠DAE＝90°． 　　∴∠OAD＋∠DAE＝90°．即OA⊥AE．(由AO∥ED证得OA⊥AE也可．) 　　∴AE是⊙O的切线　　4分 　　解：(2)延长AO交BC于点F　　5分 　　∵BD是⊙O的直径，∴∠C＝90°　　6分 　　∴∠C＝∠FAE＝∠AEC＝90°． 　　∴四边形AECF为矩形，CF＝AE＝4　　7分 　　∵AF⊥BC，且AF过圆心，∴BC＝2CF＝8　　8分