Question

如图所示，抛物线y=x²-2x-3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，直线y=x-3经过点B，C，连接AC． 
（1）求tan∠ACO； 
（2）在直线BC下方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC面积最大，求点M的坐标并写出四边形ABMC面积的最大值； 
（3）点H在抛物线上，当∠HBC=∠ACO时，求点H的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解方程得到点A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，然后根据锐角三角函数的正切等于对边比邻边列式即可；
（2）先求出△ABC的面积，然后判断出△BCM的面积最大时四边形ABMC面积最大，求出直线BC的解析式，设过点M与y轴平行的直线与BC相交于点N，表示出MN，再表示出△BCM的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点M的横坐标以及△BCM的面积，最后求解即可；
（3）求出点D的坐标，然后求出∠BCD=90°，再求出∠CBD的正切值，得到∠DBC=∠ACO，从而确定出点H与点D重合，再求出点D关于点C的对称点D′，再求出直线BD′的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0），
令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
所以，tan∠ACO=

AO

CO

=

1

3

；

（2）∵AB=3-（-1）=4，OC=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
所以，△BCM的面积最大时四边形ABMC面积最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
所以，直线BC的解析式为y=x-3，
设过点M与y轴平行的直线与BC相交于点N，
则MN=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x，
S_△BCM=

1

2

（-x²+3x）×3=-

1

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∵a=-

1

2

，
∴当x=

3

2

时，△BCM的面积最大，最大值为

27

8

，
此时，y=（

3

2

）²-2×

3

2

-3=-

15

4

，
所以，当点M（

3

2

，-

15

4

）时，四边形ABMC面积最大，最大值为6+

27

8

=

75

8

；

（3）①∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠BCO=45°，CD与y轴的夹角为45°，
∴∠BCD=90°，
∵BC=

32+32

=3

2

，CD=

12+(-3+4)2

=

2

，
∴tan∠CBD=

2

3 2

=

1

3

，
∴∠DBC=∠ACO，
∴点H与点D重合，
故，点H的坐标为（1，-4），
②∵点D（1，-4），C（0，-3），
∴点D关于点C的对称点D′（-1，-2），
设直线BD′的解析式为y=mx+n，
则

3m+n=0 -m+n=-2

，
解得

m= 1 2 n=- 3 2

，
所以，直线BD′的解析式为y=

1

2

x-

3

2

，
联立

y=x2-2x-3 y= 1 2 x- 3 2

，
解得

x1=3 y1=0

（为点B坐标，舍去），

x2=- 1 2 y2=- 7 4

，
所以，点H的坐标为（-

1

2

，-

7

4

），
综上所述，点H的坐标为（1，-4）或（-

1

2

，-

7

4

）时，∠HBC=∠ACO．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（3）先判断出顶点坐标D为所求的点H之一．