Question

周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

Answer 1

【答案】分析：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，根据题意可得出关于a、b、c的方程，由勾股定理可判断出c的取值范围，进而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合条件的未知数的对应值即可．
解答：解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a²+b²=c²（2）
∴（a+b）²=（6-c）²（3）
∵ab=9-3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，c=或；
当c=时，根据（1）（2）式有：b=6或，a=-或，不合题意．
当c=时，根据（1）（2）式有：b=，a=或a=，b=，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为与，斜边为．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，根据题意判断出c的值是解答此题的关键．