Question

已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC=15，BC=8，求PE+PF．

Answer 1

分析：由四边形ABCD为矩形，得到对边相等，对角线互相平分且相等，由OD=OC，利用等边对等角设∠BDC=∠DCA=α，在直角三角形PCE中，利用正弦函数的定义表示出PE，在直角三角形PDF中，利用正弦函数的定义表示出PF，代入PE+PF中提取公因式，且由PD+PC=CD化简，在直角三角形BCD中，由BD与BC的长，利用勾股定理求出CD的长，在直角三角形BCD中，利用正弦函数定义，及BD于BC的长，求出sinα的值，由DC与sinα的值即可求出PE+PF的值．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=15，OD=OC，
∴设∠BDC=∠DCA=α，
在Rt△PCE中，sin∠DCA=sinα=

PE

PC

，
∴PE=PCsinα，
在Rt△PDF中，sin∠BDC=sinα=

PF

DP

，
∴PF=PDsinα，
∴PE+PF=PCsinα+PDsinα=CDsinα，
∵在Rt△BCD中，BD=15，BC=8，
∴sinα=

8

15

，CD=

BD2-BC2

=

161

，
∴PE+PF=

161

×

8

15

=

8 161

15

．

点评：此题考查了解直角三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及矩形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．