Question

等边三角形ABC内接于⊙0，连接OA，OB，OC，延长AO分别交BC于点P，

BC

于点D，连接BD，CD．
（1）判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由；
（2）若等边三角形ABC的边长6

3

cm，求⊙0的半径；
（3）在劣弧

BD

上有一点Q，请求出弓形BQD的面积．

Answer 1

分析：（1）可先由四边形各角的大小求出各边之间的关系，然后即可判断四边形BDCO为何种特殊四边形；
（2）先由菱形性质求出BP的长，再由等边三角形性质及求出∠POB的角度，然后即可由三角形边角关系求出OB的长，即⊙0的半径；
（3）弓形BQD的面积可由求扇形OBD与三角形OBD之差间接求得．

解答：解：（1）四边形BDCO是菱形理由如下：
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOC=60°；
又∵OB=OD，
∴△OBD为正三角形，
∴OB=OD=BD
同理可得OC=CD，
∴OB=OC=BO=CD即四边形BDCO是菱形；（3分）

（2）由菱形性质可知，BP=

1

2

BC=

1

2

×6

3

=3

3

；
∵△ABC为等边三角形，∠PBO=30°，OP=3，BO=6，
∴⊙O的半径OB为6．（3分）

（3）S弓形BQD=S扇形-S△BOD=

60π×62

360

-

3

4

×62=6π-9

3

．（2分）

点评：本题考查了正三角形与圆，正三角形的性质，菱形的性质与判定及面积求法，具有较强的综合性．