Question

如图，等边三角形ABC内接于⊙O，D为

BC

上一点，AC、BD延长线相交于点E，连接AD，作CF∥AD交⊙O于点F，连接BF交AD于点G．
（1）试判断△GBD的形状，并加以证明；
（2）若AB=

15

，DE=2，求DG的长．

Answer 1

分析：根据圆周角定理及平行线的性质可得到∠GBD=∠ABC=60°，又因为∠ADB=∠ACB=60°所以得到△GBD是等边三角形；
先证明△ABG∽△EBC，再根据相似三角形的对应边成比例所以BE•BG=AB•BC，解得BG的值，因为BG=GD，所以DG的长也就求得了．

解答：解：（1）△GBD为等边三角形．（1分）
证明：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵CF∥AD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠4．
∴∠GBD=∠ABC=60°．
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
△GBD为等边三角形．（6分）

（2）∵△GBD与△ABC为等边三角形，
∴∠AGB=∠BCE=120°．
又∵∠1=∠4，
∴△ABG∽△EBC．
∴

AB

BE

=

BG

BC

．（8分）
即BE•BG=AB•BC，
设BG=GD=x，则BE=x+2，
∴（x+2）x=

15

•

15

．（10分）
解得x₁=3，x₂=-5（不合题意，舍去），
答：DG的长为3．（14分）

点评：此题考查学生对等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定等知识点的综合运用．