Question

如图，已知平面直角坐标系中，点A(2,m)，B(-3,n)为两动点，其中m﹥1，连结，，作轴于点，轴于点．

【小题1】求证：mn=6
【小题2】当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式
【小题3】在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】点坐标分别为(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，
又，易证，∴,∴,∴mn=6．
【小题2】由（1）得，，又∴
即∴，又,∴,又∵mn="6," ∴∴m=6(),n=1
坐标为坐标为，易得抛物线解析式为．
【小题3】直线为，且与y轴交于点，
假设存在直线交抛物线于两点，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如图所示，
则有PF:FQ=1:2，作轴于M点，轴于点，
在抛物线上，设坐标为，
则FM=，易证△PMF∽QNF，∴,
∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴ 

点坐标为,Q点在抛物线上，
，解得，
坐标为，坐标为，
易得直线为．
根据抛物线的对称性可得直线的另解为．解析:
（1）根据A、B的坐标，可得OC、OD、BC、AD的长，由于OA⊥OB，可证得△BOC∽△OAD，根据相似三角形所得比例线段，即可证得所求的结论．
（2）欲求抛物线的解析式，需先求出A、B的坐标；根据（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面积表达式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一个OB²的表达式，联立两式可得关于m、n的等式，结合（1）的结论即可求出m、n的值，从而确定A、B的坐标和抛物线的解析式．
（3）求直线l的解析式，需先求出P、Q的坐标，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于两三角形同底不等高，所以面积比等于高的比，即P、Q两点横坐标绝对值的比，可设出点P的坐标，然后根据两者的比例关系表示出点Q的坐标，由于点Q在抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P、Q的坐标，进而可利用待定系数法求得直线l的解析式．