Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线BC与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点D，点B，C是反比列函数y＝（x＞0）图象上的点，OB⊥BC于点B，∠BOD＝60°．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）若△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，△DOC的面积为S3，直接写出S1，S2，S3的一个数量关系式：　 　

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）y＝；（3）S1+S3＝S2．

【解析】

（1）解直角三角形求得OD，得出D的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）解直角三角形求得AB，利用勾股定理求得AD，进而求得S△AOB＝2，S△BOD＝6，然后根据三角形面积公式求得B的坐标，代入y＝（x＞0）求得k即可；

（3）解析式联立求得C的坐标，进而求得S3＝2，即可求得S2＝4，从而求得S1+S3＝S2．

解：∵A（0，4），

∴OA＝4，

∵∠BOD＝60°．

∴∠AOB＝30°，

∵OB⊥BC于点B，

∴∠ABO＝90°，

∴∠OAD＝60°，

∴OD＝OA＝4，

∴D（4，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；

（2）∵∠AOB＝30°，OA＝4，

∴AB＝OA＝2，OB＝OA＝2，

∵OAOD＝ADOB，

∴AD＝＝＝8，

∴BD＝AD﹣AB＝6，

∵S△AOD＝＝8，

∴S△AOB＝×8＝2，S△BOD＝×8＝6，

设B（m，n），

∴S△AOB＝＝2，S△BOD＝＝6，

∴＝2，＝6，

解得m＝，n＝3，

∴B（，3），

∵点B是反比列函数y＝（x＞0）图象上的点，

∴k＝＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（3）解得和，

∴C（3，1），

∴S△COD＝＝＝2，

∴S△BOC＝6﹣2＝4，

∵S1＝2，S2＝4，S3＝2，

∴S1+S3＝S2．

故答案为S1+S3＝S2．