Question

设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，如图，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC的形状是________．

Answer 1

等腰三角形
分析：假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ．然后在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理求得AP•AB=AC•AQ；又有AB＞AC推知AP＜AQ，这与AP＞AQ矛盾，所以假设不成立，故而AB=AC，所以该三角形是等腰三角形．
解答：反证法．
假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ，
在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理，得
===，
则==，
∴AP•AB=AC•AQ
又∵AB＞AC，
∴AP＜AQ，这与AQ＞AQ矛盾，
∴AB=AC，从而△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、正弦定理与余弦定理．解答此题时，采用了“反证法”．